Uwagi ogólne. Anegdot matematycznych jest bardzo wiele, a ilość zadań anegdotycznych jest wprost nieograniczona. Czym więc kierować się należało przy ich wyborze? Głównie zasadą jak największego urozmaicenia.

Wśród przytoczonych tu zadań i anegdot znajdzie Czytelnik najróżniejsze typy zagadnień: zadania na podziały, rozstawienia, rozlewy, przeprawy, restytucje, manewry itd., itd.; zadania pochodzące z przeróżnych epok: sprzed tysięcy lat, sprzed setek lat i sprzed dziesiątków lat; zadania chińskie, hinduskie, greckie, arabskie, rosyjskie, francuskie itd.; zadania wielkich matematyków, jak Bhaskary, Leonarda z Pizy, Bacheta, Newtona, Lucasa i innych, oraz zadania nieznanych autorów przekazane tradycją. A już pod względem tematów każde niemal zadanie jest odmienne.

Wszystkie zadania są łatwe, bardzo łatwe, dostępne dla każdego, komu nieobce są początki arytmetyki, algebry i geometrii w zakresie elementarnym. Kto by zaś nawet i tych wiadomości nie miał świeżo w pamięci, z większości podanych tu zadań doskonale skorzystać potrafi, odświeżając właśnie w formie rozrywki zdobyte przed laty prawdy matematyczne.

W wielu zadaniach podane jest całkowite rozwiązanie, przy innych dana jest tylko odpowiedź, przy niektórych wreszcie nie ma odpowiedzi; są to zadania, których samodzielne rozwiązanie (analogiczne do wykazanych poprzednio) może przynieść Czytelnikowi nie tylko pożytek, ale i szczere zadowolenie.

1. Scheda Araba

Jest to jedno z najstarszych zadań, najprawdopodobniej pochodzenia autentycznie arabskiego, nieznanego autora.
Pewien Arab pozostawił w dziedzictwie swoim trzem synom do podziału stado wielbłądów, przy czym zaznaczył, że najstarszy ma otrzymać połowę, średni trzecią część, a najmłodszy dziewiątą część dziedzictwa. Okazało się jednak, iż stado liczy 17 sztuk.
Podział był trudny; przeto spadkobiercy zwrócili się do kadiego¹, znanego w całej okolicy ze swej mądrości. Ten wydał sąd następujący: należy dopożyczyć jednego wielbłąda i przystąpić do podziału mając wielbłądów 18. Bracia postąpili według rady sędziego. Wówczas starszemu w udziale przypadło 9 wielbłądów, średniemu 6, a najmłodszemu 2, pożyczonego zaś wielbłąda zwrócono jego właścicielowi i trzej bracia byli wysoce zadowoleni z mądrego wyroku kadiego, gdyż w rzeczywistości każdy z nich otrzymał więcej, niż ojciec wyznaczył, a mianowicie jeden o 1/2 - wielbłąda więcej, drugi o 1/3,
a trzeci o 1/9 - wielbłąda.
Powyższy ciekawy wynik wydaje się na pozór paradoksalny. Z sumy jednak tych części, na jakie ojciec kazał synom podzielić całą schedę 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18, przekonamy się, że gdyby podział spadku został dokładnie wykonany według brzmienia testamentu, to 1/18 spadku nie byłaby tym podziałem objęta. Stąd pochodzą owe „nadwyżki", które tak niespodzianie ku swej radości otrzymali spadkobiercy.

1- Kadi - sędzia

2. Znaleziona sakiewka

J. Ignatjew w swym trzytomowym zbiorze rozrywek matematycznych pod tytułem "W carstwie smiekałki" przytacza podobne zadanie rosyjskie: działo się to w dawnej Rosji. Czterech wieśniaków: Bazyli, Mitrofan, Polikarp i Teodozy wracali z miasta i głośno narzekali, że nie udało im się nic zarobić.
Dobrze by było — rzekł Bazyli — gdybym tak znalazł na drodze sakiewkę z pieniędzmi, ja bym dla siebie zatrzymał tylko trzecią część, a resztę, nawet wraz z sakiewką, oddałbym wam do podziału. A ja — powiedział Mitrofan — podzieliłbym na równe części. Mnie i piąta wystarczyłaby część — zapewnił Polikarp. A ja poprzestanę na szóstej części — dorzucił Teodozy. — Ale co długo o tym mówić! Kto i kiedy znalazł na drodze pieniądze?! Naraz, o dziwo! widzą na gościńcu sakiewkę. Podnieśli ją i zdecydowali podzielić się znalezionymi pieniędzmi w taki sposób, jak każdy proponował, mianowicie Bazyli otrzyma trzecią część, Mitrofan — czwartą, Polikarp — piątą, a Teodozy — szóstą część znalezionych pieniędzy.
Otworzyli sakiewkę i przeliczyli jej zawartość. Okazało się, że jest w niej 8 banknotów, mianowicie: jeden trzyrublowy, a reszta — to były banknoty jedno-, pięcio- i dziesięciorublowe. Żaden z wieśniaków nie mógł otrzymać swej części przed zmianą banknotów na drobne. Postanowili tedy zwrócić się z prośbą o zmianę do pierwszej osoby, którą napotkają na drodze. Wtem mija ich jeździec. Zatrzymali go wieśniacy: Znaleźliśmy sakiewkę z pieniędzmi — mówią — i pieniądze chcemy tak a tak między sobą podzielić. Prosimy o zmianę rubla na drobne.
Rubla wam nie zmienię, lecz dajcie mi sakiewkę z pieniędzmi: włożę tam swój papierek jednorublowy i ze wszystkich pieniędzy, które tam będą, wydam każdemu jego część, a dla siebie zatrzymam sakiewkę. Wieśniacy z radością przystali na tę propozycję. Jeździec dołożył swego rubla, po czym pierwszemu wręczył 1/3, drugiemu 1/4, trzeciemu 1/5, czwartemu 1/6 wszystkich pieniędzy, a sakiewkę schował w zanadrze.

Dziękuję wam bardzo, przyjaciele! I wy zadowoleni, i ja zadowolony jestem z podziału — powiedział na pożegnanie nieznajomy i wkrótce znikł im z oczu.

Ostatnie słowa jeźdźca zaniepokoiły nieco wieśniaków. — Za co on nam tak dziękował?
Chłopcy, ile mamy wszystkich papierków? — zapytał Mitrofan. Zliczyli — było 8.
A kto ma trzyrublówkę? Nikt jej nie miał.
A to nas nabrał! Obliczmy szybko, na ile on pokrzywdził każdego! Naraz okrzyk zdziwienia.
Nie, towarzysze, przecież ja dostałem więcej, niż mi się należało — zawołał zdumiony Bazyli. I ja również! I ja — zawtórowali mu Polikarp i Teodozy. A i ja otrzymałem o 25 kopiejek więcej — powiedział Mitrofan. Jakże się to stać mogło? Wszystkim dał więcej, niż należało, a trzyrublówka znikła.

Ile pieniędzy znaleźli wieśniacy? Czy jeździec ich oszukał? Jakie banknoty wręczył każdemu?

Wieśniacy nie umieli prawidłowo dodawać ułamków. Rzeczywiście, dodajmy wszystkie części, na które wieśniacy chcieli podzielić znalezione pieniądze:

1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 57/60

Z tego wynika, że chcieli oni rozdzielić pomiędzy siebie mniej, niż znaleźli (znaleźli bowiem 60/60). Znalezione pieniądze wraz z pieniędzmi jeźdźca zostały podzielone na 60 części; z tego 57/60 otrzymali wieśniacy, a 3/60 czyli 1/20 zatrzymał dla siebie jeździec.
Wiemy, że jeździec przywłaszczył sobie trzyrublówkę. A więc 1/20 wszystkich pieniędzy wynosiła 3 ruble, a wszystkich pieniędzy było 60 rubli. Mitrofan dostał 1/4 tych pieniędzy, to znaczy 15 rubli, lecz jeśliby jeździec nie był dołożył swych pieniędzy, to Mitrofan powinien był otrzymać o 25 kop. mniej, to jest 15 rubli - 25 kop. = 14 rubli 75 kop., i to była 1/4 znalezionych pieniędzy. Z tego wnioskujemy, że znaleziono 59 rubli. Łącznie z pieniędzmi jeźdźca było 60 rubli. Nieznajomy dołożył był rubla, a zatrzymał dla siebie 3 ruble, a więc na przemyślnym podziale zarobił dwa ruble.
Jakie banknoty wieśniacy znaleźli w sakiewce? Pięć papierków po 10 rubli, jedną pięciorublówkę, jedną trzyrublówkę i jedną jednorublówkę. Bazyli otrzymał od jeźdźca 20 rubli: dwie dziesięciorublówki, Mitrofan 15 rubli: dziesięciorublówkę i pięciorublówkę, Polikarp 12 rubli: dziesięciorublówkę i dwie jednorublówki (jedną znalezioną, drugą od jeźdźca), Teodozy — ostatnią dziesięciorublówkę. A trzyrublówkę wraz z sakiewką zatrzymał dla siebie jeździec.

3. Testament maharadży

Pewien hinduski maharadża pozostawił swym sześciu synom w spadku sporą ilość wielkich diamentów jednakowej wartości, przy czym rozporządził, że pierwszy z synów weźmie jeden diament i 1/7 pozostałych, drugi — dwa diamenty i 1/7, pozostałych i tak dalej. Po dokonanym podziale okazało się, że każdy z synów otrzymał tę samą ilość diamentów. Ile było wszystkich diamentów?

Rozwiązanie algebraiczne nie sprawia najmniejszej trudności. Sposób podany poniżej jest jednak przystępniejszy, a przy tym ciekawy, gdyż — według Lucasa jest pochodzenia hinduskiego. Z tekstu zadania łatwo wysnuć, że każdy z synów musiał otrzymać co najmniej po 6 diamentów.
Przedstawmy diamenty za pomocą krążków i zacznijmy od kwadratu, który ma 6 rzędów po 6 diamentów w rzędzie. Przesuńmy jeden rząd diamentów tak, jak pokazuje figura I . Po oddaniu najstarszemu bratu jednego diamentu wystającego po prawej stronie przesuniętego rzędu trzeba będzie mu oddać dalsze 5 diamentów ostatniego rzędu jako siódmą część pozostałej ilości diamentów.
Pierwszy syn otrzymał 6 diamentów, a zostanie ich 30. Powtarzając podobne manipulacje na prostokącie z 30 krążków otrzymamy figurę II. Gdy z ostatniego rzędu usuniemy dwa wystające diamenty, będziemy mieli jeszcze cztery diamenty, które stanowić będą siódmą część pozostałych diamentów. W ten sposób postępując dalej wykażemy, że każdy z sześciu synów otrzyma 6 diamentów.

Przytoczony przez nas sposób rozwiązania ma tę słabą stronę, że zaczyna się właściwie od podania wyniku i tym się kończy: wybiera się kwadrat złożony z 36 krążków dlatego, że wiemy, iż tyle ich być powinno. Tymczasem rozwiązanie algebraiczne postępuje w sposób zwykły: od wiadomych do niewiadomego. W każdym razie i powyższa procedura, mimo że stanowi niejako rozwiązanie sztuczne, jest ciekawa.
Rozumowanie w niczym nie ulegnie zmianie, jeśli zamiast 1/7 weźmiemy inny ułamek, mianowicie jakieś 1/n . Liczba synów wówczas powinna być n - 1, a liczba diamentów (n - 1)2 .

Fig. 1.







Fig. 2.







Fig. 3.







Fig. 4.








Fig. 5.

« Wstęp

Dalej »

Design by: Izabela Kurkiewicz