5. Słuszny podział zapłaty

Dwaj Arabowie wędrowali przez pustynię. Do najbliższej oazy było jeszcze pół dnia drogi. Z zapasów żywności pozostało im tylko 8 sucharów: 3 należały do jednego, 5 do drugiego. Spotkali na drodze samotnego podróżnego wycieńczonego głodem. Ulitowali się nad nim i wspólnie z nim spożyli swe zapasy. Przy rozstaniu ów podróżny, by okazać im wdzięczność, wręczył przygodnym kompanom tytułem zapłaty 8 jednakowych złotych monet.

W jaki sposób powinni byli obdarowani podzielić się otrzymanymi pieniędzmi?

Przy podziale doszło do kłótni. Arab bowiem, który miał 5 sucharów, zażądał dla siebie 5 złotych monet, tymczasem jego towarzysz chciał otrzymać 4 monety twierdząc nie bez słuszności, że obaj przyczynili się do uratowania życia głodnego bogacza.
Nie mogąc się zgodzić na sposób podziału, po przybyciu do .oazy zwrócili się do kadiego, miejscowego sędziego, z prośbą, by spór ich rozstrzygnął. Ten zawyrokował w sposób dla obu nieoczekiwany: — Jesteście obydwaj w błędzie — powiedział z uśmiechem kadi. — Przypuśćmy, że każdy z waszych sucharów podzieliliście na 3 części; w ten sposób otrzymaliście 24 części. Dalej przypuśćmy, że każdy z was spożył 8 części. Ten który miał 5 sucharów, to jest 15 części, oddał trzeciemu podróżnemu 7 części, a jego towarzysz ze swoich 3 sucharów ujął tylko l część. Z tego wynika, że monety powinny być tak podzielone: 7 monet należy się jednemu z was, a tylko jedna drugiemu.

6. To niemożliwe!...

Poniższą anegdotę podaje Lagarrigue w swych Recreations scientifiques:
Pewna Włoszka, wyprawiając na targ trzy córki z pomarańczami, dała najstarszej 50 sztuk, młodszej 30, a najmłodszej, która była jeszcze dzieckiem, włożyła do koszyczka 10. Przykazała przy tym sprzedawać towar jak najkorzystniej, ale po tych samych cenach, by sobie nie robiły konkurencji.
Jakież było zdumienie matki, gdy dziewczęta wróciwszy oświadczyły, że uczyniły, jak im nakazała, i że wszystkie trzy otrzymały równe sumy ze sprzedaży.
— Jak to być może, abyście sprzedając po tych samych cenach osiągnęły te same kwoty za 50, za 30 i za 10 pomarańcz?! To niemożliwe!. Żartujecie!

A jednak jest to zupełnie możliwe: dziewczęta sprzedały najpiękniejsze pomarańcze po 15 groszy, a resztę po 5 groszy za 7 sztuk. Najmłodsza z nich miała 3 wielkie, dorodne pomarańcze, średnia siostra 2, a najstarsza tylko 1.

7. Pomysłowi handlarze świń

Sławny Alkuin, towarzysz Karola Wielkiego, w dziełku swym pod tytułem Propositiones ad acuendos juvenes przytacza takie pozornie paradoksalne zadanie:
Dwaj handlarze kupili wspólnie stado wieprzy i zapłacili ogółem 100 sztuk ówczesnej monety zwanej soldem (od łacińskiego solidus). Gdy przystąpili do sprzedaży wieprzy, nikt im nie chciał dać więcej ponad cenę, którą oni sami dali, to jest po 2 soldy za 5 sztuk. Ale jakże tu sprzedać bez zarobku! Rada w radę, postanowili podzielić stado na dwie części. Uczynili tak i sprzedali wieprze w cenie 2 soldy za 5 sztuk, a jednak nie tylko odebrali swoje pieniądze, lecz coś jeszcze zyskali na te] transakcji. Jak ten pozorny paradoks można rozwiązać?...

Kupcy podzielili stado w ten sposób, że jeden wziął wszystkie okazalsze wieprze, drugi same warchlaki. Pierwszy sprzedał 2 wieprze za 1 solda, drugi zaś 3 również za 1 solda.
Sprzedali więc istotnie po cenie nabycia, tj. za 5 sztuk po 2 soldy. Pierwszy, sprzedawszy 120 wieprzy, otrzymał 60 soldów, drugi zaś za taką samą ilość wieprzy pośledniejszego gatunku uzyskał tylko 40 soldów, ale razem osiągnęli sumę pierwotną, to znaczy koszt nabycia w kwocie 100 soldów - i w zysku pozostało im jeszcze dziesięć sztuk nierogacizny.

8. Grobowiec Diofantosa

Na kamieniu grobowym wielkiego matematyka greckiego z epoki aleksandryjskiej Diofantosa widniał ułożony przez Eutropiusza napis tej treści:
Przechodniu! Pod tym kamieniem spoczywają prochy Diofantosa, który zmarł w głębokiej starości. Przez szóstą część swego długiego życia był dzieckiem, a dwunastą młodzieńcem. Przez następną siódmą część życia był nieżonatym. W pięć lat po pojęciu małżonki urodził się syn, który dożył do wieku dwakroć mniejszego od lat ojca. W cztery lata po śmierci syna zasnął snem wiecznym Diofantos opłakiwany przez swych najbliższych. Powiedz, jeśli umiesz obliczać, w jakim umarł on wieku?

Do czasu ożenienia się przeżył Diofantos 1/6 + 1/12 + 1/7 swego życia, czyli razem 33/84. Z synem przeżył połowę swego życia, to znaczy 42/84 całego życia. Reszta życia, która upłynęła od ślubu do urodzin syna i od śmierci syna do zgonu Diofantosa, równa się 9/84, a wynosiła 5 + 4 = 9 lat. Diofantos zmarł więc mając 84 lata.

9. Kot i mysz

Luca Paciuolo w swej książce pod tytułem Summa de arithmetica (1494 r.) podaje zadanie następujące: Na szczycie drzewa 60-łokciowej wysokości siedzi mysz; przy pniu na ziemi siedzi kot. Mysz złazi co dzień o 1/2 łokcia w dół, a co noc o 1/6 łokcia włazi z powrotem do góry. Kot wspina się w ciągu dnia o 1 łokieć w górę, a w ciągu każdej nocy złazi o 1/4 łokcia na dół. Drzewo rośnie tak, że każdego dnia jest o 1/4 łokcia wyższe, w ciągu nocy zaś kurczy się w swej wysokości o 1/8 łokcia. Kiedy dojdzie kot do myszy i jak wysokie będzie wówczas drzewo?

Odpowiedź: W ciągu 63 dni. Drzewo będzie wówczas miało 68 łokci wysokości. (Zachodzi tylko pytanie, czym się zwierzaki żywiły przez 9 tygodni i czy im się nie sprzykrzyła cała ta zabawa).

10. Wilk, koza i kapusta

Jest to jedno z najpopularniejszych, a zarazem najdawniejszych zadań na tak zwaną „przeprawę". Znajduje się ono już w VIII wieku u Alkuina w dziele, którego tytuł brzmi: Propositiones ad acuendos juvenes, a prawdopodobnie zaczerpnięte zostało przez znakomitego współpracownika Karola Wielkiego z tradycji lub ksiąg jeszcze dawniejszych. Wieśniak musi przewieźć przez rzekę wilka, kozę i kapustę. Łódka jednak jest tak mała, że może się w niej zmieścić tylko wieśniak i jedno z tych trojga. Jeśli zostawi wilka z kozą, to wilk pożre kozę; jeśli zostawi kozę z kapustą, to koza zje kapustę. Jak poradził sobie wieśniak ze swym transportem?

Należy oczywiście zacząć od kozy. Wieśniak przewozi kozę, następnie wraca po wilka, a przeprawiwszy go na drugą stroną rzeki zabiera kozę z powrotem, zostawia ją na brzegu, odwozi kapustę i wreszcie wraca po kozę. W ten sposób przeprawa kończy się pomyślnie.

11. Mozolna przeprawa żołnierzy

Oddział żołnierzy doszedł do rzeki, przez którą koniecznie musi się przeprawić. Most po niedawnej powodzi jest jeszcze w ruinie, rzeka zaś zbyt głęboka, by próbować przebrnąć ją w bród. W małej łódce u brzegu rzeki bawią się dwaj chłopcy. Łódka jest tak maleńka, że zaledwie jeden żołnierz mógłby się w niej pomieścić. Mimo to ta właśnie łódka przy czynnym udziale chłopców przewiozła na drugą stronę rzeki cały oddział żołnierzy. Jak się to stało?

Chłopcy przepływają razem na brzeg przeciwległy. Jeden tam pozostaje, drugi zaś z łódką wraca do żołnierzy. Wówczas przepływa jeden żołnierz, a chłopiec z przeciwnego brzegu odwozi łódkę z powrotem do pozostałych żołnierzy, zabiera swego towarzysza, odwozi go na drugą stronę rzeki i znów odstawia łódkę z powrotem, wysiada i drugi żołnierz przeprawia się przez rzekę. W ten sposób przy dwóch przeprawach tam i z powrotem przepływa jeden żołnierz. Powtarza się to dopóty, dopóki wszyscy żołnierze i oficerowie nie zostali przewiezieni na drugą stronę rzeki, co, choć w teorii jest możliwe, musiało w praktyce trwać dość długo.

12. Odgadnienie, która z dziewięciu osób na który palec której ręki włożyła pierścień.

Jest to bardzo efektowna zagadka, a zarazem dosyć "wiekowa", przytacza ją bowiem już Leonard z Pizy w swym Liber abaci z roku 1202.

Odgadujący wręcza towarzystwu (złożonemu z co najwyżej dziewięciu osób) pierścień, prosząc, by pod jego nieobecność ktoś zechciał ten pierścień włożyć na palec, on zaś podejmuje się odgadnąć nie tylko, kto z obecnych, na której ręce i na jakim palcu , a nawet - na którym członku palca pierścień umieścił.

Gdy po chwilowej nieobecności odgadujący powraca do towarzystwa, prosi, by ktoś, kto biegle liczy i wie dokładnie, gdzie pierścień się znajduje, zechciał dokonać szybko w myśli lub pisemnie szeregu następujących działań i wyjawił jedynie rezultat ostateczny:

Otóż należy podwoić numer miejsca, które zajmuje w szeregu obecnych osoba mająca pierścień, do liczby otrzymanej dodać 5, sumę pomnożyć przez 5 i dodać 10. Następnie dodać jeszcze 1, jeśli pierścień jest na prawej ręce, a 2 jeśli na lewej. Dalej należy wszystko pomnożyć przez 10, dodać liczbę oznaczającą członek palca, licząc od dłoni. Jeszcze dodać 35 i wymienić rezultat ostateczny.

Odgadnienie polega na odjęciu 3535 od liczby otrzymanej z działań powyższych i na umiejętnym odczytaniu liczby pozostałej. Przykład najlepiej to wyjaśni.

Przypuśćmy, że pierścień miała szósta osoba i włożyła go na trzeci członek wskazującego palca prawej ręki. Przebieg działań będzie następujący:

Odgadujący odejmuje i odczytuje: pierścień ma szósta osoba (6), umieściła go na prawej ręce (1), na wskazującym palcu (2), na jego trzecim członku (3).

Odgadnienie powyższe może stać się wdzięcznym tematem do samodzielnego opracowania jego wariantów liczbowych, a nawet do układania analogicznych zagadnień, na odnalezienie na przykład wiersza w bibliotece, w oznaczonych liczbami: szafie, półce, książce i stronicy.

« Wstęp

Design by: Izabela Kurkiewicz